Bài giảng và bài tập Phương trình đường tròn

Trước khi vào bài học chúng ta cùng xét qua một ví dụ trước nhé. 


VD: Cho đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính R bằng 5.


Điểm nào sau đây thuộc (C): A(-4;-5), B(-2;0), D(-1;-1), E(3;2) ?


 

phuong trinh duong tron




– Vì IB và ID đều bằng 5 nên B và D đều thuộc đường tròn (C).


– Vì IA > 10 nên A nằm ngoài đường tròn (C).


– Vì IE = √2 < 5 nên E nằm trong đường tròn (C). 


Từ ví dụ trên chúng ta thấy, một điểm thuộc đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến tâm đường tròn phải bằng với bán kính.





1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước


 

[Toán 10] - Bài giảng và bài tập Phương trình đường tròn




Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.


Điểm M(x;y) ∈ (C) <=> IM = R <=> IM2 = R2


Thay biểu thức tọa độ vào chúng ta có phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là :


(x –a)+ (y – b)2 = R2








Bài tập nhận dạng phương trình đường tròn


Phương trình của đường tròn có tâm I(-4;1) và bán kính R = 1 là:


A. (x + 1)2 + (y – 4)2=1


B. (x + 4)2 + (y – 1)2 = 1


C. (x – 1)2 + (y + 4)2 = 1


D. (x – 4)2 + (y + 1)2 = 1





2. Nhận xét


Phương trình đường tròn (x – a)+ (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng: x2+ y2 – 2ax – 2by + c = 0


Trong đó c = a2 + b2 + R2


Ngược lại, phương trình x2+ y2– 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 -c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = 








3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn


Cho điểm M0(x0 ;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M0




Ta có Mthuộc ∆ và vectơ  = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của ∆ 


Do đó ∆ có phương trình là: (x0 – a )(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) (1)


Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x –a)2 + (y – b)2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.





Như vậy là chúng ta đã hoàn thành xong phần lý thuyết của bạn này. Các bạn hãy xem thật kỹ và lưu ý những điểm quan trọng để luôn làm tốt phần này.

Giải bài tập phương trình đường tròn

Câu 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:


a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0


b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y – 11 = 0


c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.





Hướng dẫn giải:


a) Ta có : -2a = -2 => a = 1


-2b = -2 => b = 1 => I(1; 1)


R2 = a2 + b2 – c = 12 + 12 – (-2) = 4 => R = 2


b) Tương tự, ta có : I (-1/2;1/4), R = 1


c) I(2; -3), R = 4





Câu 2. Lập phương trình đườơng tròn (C) trong các trường hợp sau:


a/ (C) có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3);


b/ (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0


c/ (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5).





Hướng dẫn giải:


a/ Tìm bán kính R, ta có: R2 = IM2 => R2 = IM = (2 + 2)2 + (-3 -32) = 52


=> Phương trình đường tròn (C): (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52


b/ Từ đề bài ta có, đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d do đó khoảng cách từ tâm I đến d bằng với bán kính đường tròn. Vậy d(I;d) = R.


=> R =  = 2/√5


Áp dụng công thức đường tròn tâm I bán kính R => phương trình cần tìm là: 5x2 + 5y2 +10x – 20y + 21 = 0


c/Ta có AB là đường kính vậy, tâm của đường tròn là trung điểm của AB


=> I(4;3)


Tính AB = 2√13 => R = √13





Câu 3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:


a/ A(1;2); B(5;2); C(1;-3)


b/ M(-2;4); N(5;5); P(6;-2)


=> Phương trình cần tìm (C): (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13





Hướng dẫn giải:


a/ Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào (x –a)+ (y – b)2 = R2 ta được hệ phương trình sau:

Giải hệ phương trình trên để tìm a, b, c sau đó thay vào lại phương trình đường tròn chúng ta được:


x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0





Cách 2: Do 3 điểm thuộc đường tròn (C) do đó tâm I cách đều 3 điểm A, B, C nên chúng ta có


IA = IB = IC => IA2 = IB2 = IC2


=> Ta được hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên ta tìm được I(3;1/2), có I tìm R  và viết phương trình.





b/ Sử dụng cách 2 tương tự ở trên ta tính được I(2; 1), R = 5


Phương trình đường tròn đi qua ba điểm M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2) là:


(x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 <=> x2 – y2 – 4x – 2y – 20 = 0





Các câu còn lại các bạn độc giả tự giải nhé. Chúc các bạn học tốt

Share this post:

Recent Posts

Leave a Comment